Wzór na ładowanie i rozładowywanie kondensatora ? wyprowadzenie i rozwiązanie równania różniczkowego ? cz. 3: chwilowe napięcie ładowania

W ostatniej części niniejszego tutoriala zajmiemy się wyprowadzeniem wzoru na chwilowe napięcie na kondensatorze podczas jego ładowania. Wykorzystamy wiedzę z pierwszego odcinka (o liniowych równaniach różniczkowych pierwszego rzędu) i przeprowadzimy tą samą procedurę co w poprzednim odcinku (dotyczącym wyznaczania chwilowego prądu podczas ładowania), ale trochę zmodyfikujemy nasze równanie. A więc do dzieła.

W poprzednim odcinku, doszliśmy do momentu, gdzie skorzystaliśmy z 2. prawa Kirchhoffa i zapisaliśmy wzór na sumę napięć w oczku.

2. prawo Kirchhoffa dla ładowania kondensatora

Wtedy zróżniczkowaliśmy obustronnie, aby otrzymać równanie różniczkowe. Teraz postąpimy trochę inaczej. Zamiast różniczkować, zapiszemy trochę w odmienny sposób powyższe 2. prawo Kirchhoffa i wtedy bez różniczkowania otrzymamy równanie różniczkowe, które potrzebujemy. Dokładniej rzecz biorąc, napięcie na kondensatorze, zamiast z użyciem całki, zapiszemy z użyciem wzoru na ładunek.

2. prawo Kirchhoffa dla ładowania kondensatora - bez całki

Teraz prąd w obwodzie zapiszemy jako zmiana ładunku w czasie.

równanie różniczkowe dla chwilowego napięcia na kondensatorze

Równanie już mamy. Teraz rozwiązujemy analogicznie do tego, jak robiliśmy to w poprzednim odcinku.

rozwiązanie równania różniczkowego chwilowego napięcia ładowania kondensatora

Powyżej mamy już rozwiązane równanie. Nie wygląda ono ładnie, ale chwilowo nie będziemy go upraszczać. Zamiast tego teraz, z warunków początkowych (tak jak ostatnio), obliczymy niewiadomą K. Tak jak poprzednio, wykorzystamy fakt, że w czasie t=0 kondensator jest jeszcze całkowicie nienaładowany.

arunki początkowe równania różniczkowego chwilowego napięcia ładowania kondensatora

Mamy nasze K, więc możemy wszystko złożyć do kupy i uprościć.

wzór na chwilowe napięcie na kondensatorze podczas ładowania

I gotowe. Mamy wzór na chwilowe napięcie na kondensatorze. W następnym odcinku zajmiemy się rozładowywaniem kondensatora.