Wzór na ładowanie i rozładowywanie kondensatora ? wyprowadzenie i rozwiązanie równania różniczkowego ? cz. 2: chwilowy prąd ładowania

W drugim odcinku niniejszego tutoriala zastosujemy wiedzę z poprzedniej części dotyczącą rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu do obliczeń na kondensatorze. Układ, który będziemy rozpatrywać jest bardzo prosty, a wygląda tak.

obwód ładowania kondensatora

Z prawa Ohma możemy łatwo obliczyć napięcie na rezystorze.

Prawo Ohma dla rezystora

Napięcie na kondensatorze już nie jest takie łatwe do obliczenia. Zaczniemy od wzoru na ładunek zgromadzony na kondensatorze.

wzór na ładunek na kondensatorze

Weźmy jeszcze wzór na prąd w obwodzie z kondensatorem i scałkujmy go obustronnie, aby otrzymać wzór na ładunek zgromadzony na kondensatorze w czasie t.

wzór na całkowity ładunek na kondensatorze

I teraz podstawmy tą całkę we wcześniejszy wzór, aby otrzymać wzór na napięcie chwilowe na kondensatorze.

wzór na napięcie chwilowena kondensatorze

Chwilowe napięcia na rezystorze mamy już wyznaczone. Teraz czas na 2. prawa Kirchhoffa, z którego znamy wzór na sumę napięć w obwodzie.

2. prawo Kitchhoffa na ładowania kondensatora

Teraz zróżniczkujmy obustronnie powyższe i podzielmy przez R.

równanie różniczkowe dla ładowania kondensatora

Zostały nam jeszcze tylko 2 kroki, aby otrzymać wyniki. Pierwszy to zastosowanie wiedzy z poprzedniego odcinka, czyli rozwiązanie powyższego równania różniczkowego.

rozwiązanie równania różniczkowego dla ładowania kondensatora

Równanie mamy już rozwiązane. Teraz z warunków początkowych musimy wyznaczyć wartość niewiadomej K. Wykorzystamy fakt, że w chwili t=0, kondensator jest jeszcze całkowicie nienaładowany, a wiec napięcie na nim wynosi zero. W takim razie całe napięcie odkłada się wtedy na rezystorze i możemy zapisać.

prąd przy rozładowanym kondensatorze

Dodatkowo, w czasie t=0 mamy

warunki początkowe dla ładowania kondensatora

Mamy więc wyznaczone K. Możemy już wszystko złożyć do kupy.

prąd chwilowy ładowania kondensatora

I gotowe. Mamy wzór na chwilowy prąd w obwodzie ładowania kondensatora. W następnym odcinku, w podobny sposób wyznaczymy chwilowe napięcie na kondensatorze.