Wzór na ładowanie i rozładowywanie kondensatora – wyprowadzenie i rozwiązanie równania różniczkowego – cz. 1: wprowadzenie matematyczne

Aby wszystko było zrozumiałe, to nim przejdę do wyprowadzenia wzoru na chwilowy prąd i chwilowe napięcie na kondensatorze podczas jego ładowania, zrobimy małe wprowadzenie matematyczne. Konieczne będzie zrozumienie czegoś co ma bardzo trudną nazwę ? liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Mimo, że jest to zagadnienie, które może być bardzo skomplikowane, to nam wystarczą dla naszych potrzeb tylko 2 formułki i jeden przykład. A więc do dzieła.

Wspomniany rodzaj równania różniczkowego to specjalny rodzaj równania, który pośród niewiadomych ma również pochodną. Jest wiele różnych rodzajów takowych równań, ale nas interesuje jedno, konkretne o postaci:

liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Rozwiązanie takiego równania ma określoną z góry postać, która straszy na początku, ale przykład pokaże, że dość łatwo ją obliczyć znając podstawy analizy matematycznej. Owe rozwiązanie ma postać:

rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu

Straszne? Straszne? Ale zobaczmy przykład?

przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu 1

Podstawiamy teraz nasze wyniki pośrednie do wzoru.

przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu 2

Jak widać, została nam jeszcze jedna całka do obliczenia.

przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu 3

Obliczoną całkę podstawiamy w miejsce naszego wzoru.

przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu 4

I już. Otrzymaliśmy rozwiązanie naszego równania różniczkowego. Obliczenia, których tutaj dokonaliśmy, są kluczem na wszystkie obliczenia związane z ładowaniem i rozładowaniem kondensatora, niezależnie, czy liczymy napięcia, czy prądy.

W następnym odcinku zabierzemy się już za kondensator i użyjemy tego, co nauczyliśmy się teraz.