Różniczkowanie numeryczne, czyli pochodna dyskretna

Nie jest błędem chyba powiedzieć, że pochodna to najważniejsze osiągnięcie analizy matematycznej – jeżeli nie całej matematyki w ogóle. W informatyce też ciężko przecenić ten aparat matematyczny. Jest on podstawą w takich dziedzinach komputerowych jak sztuczna inteligencja, przetwarzanie grafiki i inne. Najkrócej mówiąc, pochodna mówi nam o tym, jak gwałtownie zmienia się funkcja w danym jej miejscu – duża pochodna to szybka zmiana i na odwrót. W informatyce podchodzimy do różniczkowania inaczej niż w matematyce, gdyż mamy dyskretną przestrzeń. Poniżej pokazane są najpopularniejsze wzory na dyskretną pochodną.

Wzory na pochodne dyskretne dzielimy na poprzednikowe, następnikowe i centralne – w zależności od doboru punktów. Oszacowania błędów wynoszą zazwyczaj O(h) (czyli jest proporcjonalne do wielkości kroku h) lub O(h2) (czyli jest proporcjonalne do kwadratu kroku h – jeżeli krok h jest większy niż 1 to błąd rośnie wraz z h, a jeżeli krok h jest mniejszy niż 1 to błąd maleje wraz ze wzrostem h). Najdokładniesze wyniki będziemy mieć, gdy oszacowanie O() ma jak największą potęgę przy jednoczesnym kroku h mniejszym niż 1 i jak najmniejszym w ogóle.

Najprostsze oszacowania prezentuje poniższa tabela.

Pochodne dyskretne

Prócz powyższych wzorów, mamy również do dyspozycji wzory biorące pod uwagę większą ilość punktów.

Pochodne dyskretne 2

Ich dokładność jest większa, ale pod warunkiem zachowania odpowiednio małego kroku h.